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重难点重难点 0 07 7 线段的计算线段的计算 第第 3131 天天 线线相交点几何线线相交点几何 1 希望杯 邀请赛试题改编 公园计划修 5 条笔直的甬路 其余的部分进行绿化 1 需要绿化的部分最多有 块 2 公园负责人根据实际情况 计划多加 1 条 准备修 6 条甬道 并在甬道交叉路口处 设一个展示牌 这样的展示牌最多设 个 3 归纳 平面内两条直线相交有 1 个交点 三条直线相交最多有 3 个交点 四条直线 相交最多有 6 个交点 若有 n 条直线相交 最多有几个不同的交点 解 1 16 2 15 3 n条直线相交最多有123 1 n 1 2 n n 个不同的交点 第第 3232 天天 咫尺天涯你和我咫尺天涯你和我 2 已知线段 AB 10 cm 试探讨下列问题 1 是否存在一点 C 使它到 A B 两点的距离之和等于 8 cm 并说明理由 2 是否存在一点 C 使它到 A B 两点的距离之和等于 10 cm 若存在 它的位置唯一吗 3 当点 C 到 A B 两点的距离之和等于 20 cm 时 点 C 一定在直线 AB 外吗 请举例说明 解 1 不存在点C 使它到 A B两点的距离之和等于8cm 因为两点之间线段最短且AB10cm 所以10cmACBC 2 存在点C 使它到 A B两点的距离之和等于10cm 此时点C在线段AB上 它的位置不唯一 3 当点C到 A B两点的距离之和等于 20cm时 点C不一定在直线AB外 可以在线段AB的延 长线上或反向延长线上 第第 3333 天天 画出图形结果现画出图形结果现 3 已知 C 为线段 AB 的中点 D 为线段 AC 的中点 解答下列问题 1 画出相应的图形 并写出图中所有的线段 2 若 28ADACAB 求线段 BC 的长度 3 若 E 是线段 BC 上的一点 M 是线段 EB 的中点 DMa CEb 求线段 AB 的 长度 用含 a b 的代数式表示 解 1 画出图形如解图 线段为 AD AC AB DC DB CB 画出图形 是不是一目了然 所以说 数形结合 法宝要紧握 2 因为C为线段AB的中点 D为线段AC的中点 所以 11 2 22 ABBC ACBC ADACBC 因为28ADACAB 所以 1 228 2 BCBCBC 解得8BC 即线段BC的长度为 8 3 如解图 设ADDCc 则2BCc 因为CEb 所以2BEcb 因为M是线段EB的中点 所以 1 22 b EMBEc 因为DMDCCEEM 所以 2 b acbc 即 24 ab c 所以242ABBCcab 思想方法简介思想方法简介 转化也称化归 是数学中最常用的思想 转化思想的实质就是在已有的 简单的 具体 的 基本 的知识的基础上 把末知化为已知 把复杂化为简单 把一般化为特殊 把抽象化 为具体 把非 常规化为常规 从而解决问题 转化在中学数学中运用很广泛 转化思想是解 决数学问题的重要 思想 包含了数学特有的数 形 式的相互转换 数学的学习过程就是把 新问题转化为已有的知识 和经验 经过组合变式 变化等 第第 3434 天天 线段和差看整体线段和差看整体 4 如图 点 C 在线段 AB 上 点 M N 分别是 AC BC 的中点 1 若 8 cm 6 cmACCB 求线段 MN 的长 2 若点 C 为线段 AB 上任意一点 满足 cmACCBa 其他条件不变 求线段 MN 的长 度 并用一句简洁的话描述你发现的结论 3 若点 C 在线段 AB 的延长线上 且满足 cmACBCb 点 M N 分别为 AC BC 的 中点 你能猜想 MN 的长度吗 请画出图形 写出你的结论 并说明理由 4 解 1 因为8cmAC 点M是AC的中点 所以 1 4cm 2 CMAC 因为6cmBC 点N是BC的中点 所以 1 3cm 2 CNBC 所以7cmMNCMCN 即线段MN的长为7cm 2 因为点 M N分别是 AC BC的中点 所以MNCMCN 11111 cm 22222 ACBCACBCABa 结论 若点C为线段AB上任意一点 AB cma 且点 M N分别是 AC BC的中点 则 1 cm 2 MNa 3 当点C在线段AB的延长线上时 如解图 则ACBC 因为M是AC的中点 所以 1 2 CMAC 因为N是BC的中点 所以 1 2 CNBC 所以 11 cm 22 MNCMCNACBCb 总的来说是很典型很基础的考查 小鹿的迷弟迷妺们务必轻松棠层 取好是形成不假思索的 肌肉 记忆 第第 3535 天天 等量代换分别求等量代换分别求 5 如图 点 C 在线段 AB 的延长线上 点 D 在线段 BC 上 点 E 在线段 AC 上 已知 2BD CE2AECD 1 若 9 12ABBC 求 DE 的长 2 若 ABa 求 DE 的长 用含 a 的代数式表示 3 若图中所有线段的长度之和是线段 AD 长度的 6 倍 求 AD AC 的值 解 1 因为2 12CDBD BC 所以 1 4 3 BDBC 因为2 9CEAE AB 所以 111 912 7 333 AEACABBC 所以972BEABAE 所以246DEBEBD 2 因为2CDBD 所以 1 3 BDBC 因为2CEAE 所以 1 3 AEAC 所以 1 3 BEABAEABAC 所以 111122 333333 DEBEBDABACBCABACBCABABABa 3 以22 22CDBDx CEAEy 则 BDx AEy 细品一下问题 所有线段 快来数一数 有多少条线段 所有线段和 43 23 223 2AEABADACEBEDECBDBCDCyyxxxy 3 222226 23 xxxxxxyyxx 整理得4yx 则 233210 312ADyyxxyxx ACyx 所以 105 126 ADx ACx 综合强化练综合强化练 7 7 1 如图 点 A B C 是直线 l 上的三个定点 点 B 是线段 AC 的三等分点 4ABBCm 其中 m 为大于 0 的常数 若点 D 是直线 l 上的一动点 点 M N 分别是 AD CD 的中 点 则 MN 与 BC 的数量关系是 A 2MNBC B MNBC C 23MNBC D 不确定 C 解析 因为4 0ABBCm m 所以ABBC 所以 2 3 ABAC 所以 21 4 33 ACACm 故12ACm 设数轴上的点A为 0 点C为12m 所以点B为8m 所以4BCm 设点D为x 则点 M为 2 x 点N为 12 2 mx 所以MN为6m 所以23MNBC 2 江苏省竞赛 如图 某幼儿园附近有三个住宅区 A B C 住宅区分别住有该幼儿园学 生 15 人 20 人 45 人 且 这 三 个 住 宅 区 在 一 条 马 路 边 上 A B C 三 点 共 线 已 知 1500 m 1000 mABBC 为了学生的安全 该幼儿元打算从图中四处中选一处设置校车停 靠 点 为使所有的学生步行到停靠点的路程之和最小 那么该停靠点的位置应设在 处 填 A B C 或 D C 解析 当停 点在A住宅区时 所有学生步行到停靠点的路程和是 20 150045 2500142500m 当停靠点在B住宅区时 所 有学生步行到停靠点的路程和是 15 1500 45 100067500m 当停靠点在C住宅区时 所有学 生步行到停靠点的路程和是 15 250020 100057500m 当停菲点在D时 设D处距离B住宅区x米 所有学生步行到停靠点的路程和是 15 1500 2045xx 1000 1067500 xx 因为100 01000 x 所以x越大 路程之和越小 所以当停靠点在 C住宅区时 所有学生步行到停靠点的路程和最小 3 两根木条 一根长 20cm 另一根长 24cm 将它们一端重合且放在同一条直线上 此时两根木 条的中点之间的距离为 cm 解析 设较长的木条为AB 24cm 较短的木条为20cmBC 设点 M N分别为 AB BC的中点 所以12cm BMBN 10cm 1 当BC不在AB上时 121022cmMNBMBN 2 当BC 在AB上时 12102cmMNBMBN 综上所述 两根木条的中点之间的距离是2cm或 22cm 4 兴泉铁路是国家一级铁路 途中经过三明地界停靠的车站依次是 宁化 清流 明溪 三元区 永安 大田 那么往返三明境内站点拟制作的火车票有 种 要是新增 2 个车站 则需要增加 种不同的车票 解析 设宁化 清流 明溪 三元区 永安 大田六站分别用 A B C D E F表示 则共有线段 AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共 15 条 所以往返三明境内站点需 制作 30 种车票 现在新增 2 个车站 8 8 1 8 756 种 563026 种 所以需要增加 26 种 不同的车票 5 希望杯 邀请赛 如图 已知 C D 是线段 AB 上的两点 且 11 33 ACAB BDBC 图中 一共有 条线段 若所有线段的长度总和为 31 则 AD 解析 图中的线段的条数为321 6 因为 11 33 ACAB BDBC 所以 9 4 ABCD 根据题意 可得 31ACADABCDCBDB 看到这 各位看官是不是发现两的线段之间有千丝万缕 的关系 别光看呐 能凑一对是一对 即 31ACCBADDBABCD 所以331ABCD 即 31 31 4 CD 解得4CD 则 9 3ABAC 所以347ADACCD 6 如图 已知 B 是线段 AC 上的一点 M 是线段 AB 的中点 N 是线段 AC 的中点 P 是线段 NA 的中点 Q 是线段 AM 的中点 求 MN PQ 的值 解 因为M是AB的中点 所以 2 AB AMBM 因为Q是AM的中点 所以 24 AMAB AQQM 因为N是AC的中点 所以 2 AC ANCN 因为P是NA的中点 所以 24 ANAC APNP 所以 222 ACABACAB MNANAM 444 ACABACAB PQAPAQ 所以 2 1 24 ACABACAB MN PQ 7 直线 l 上的三个点 A B C 若满足 1 2 BCAB 则称点 C 是点 A 关于点 B 的 半 距点 如图 1 2 BCAB 此时点 C 就是点 A 关于点 B 的一个 半距点 若 M N P 三 个点在同一条直线 m 上 且点 P 是点 M 关于点 N 的 半距点 6 cmMN 1 MP cm 2 若点 G 也是直线 m 上一点 且点 G 是线段 MP 的中点 求线段 GN 的长度 解法提示 因为点P是点M关于点N的 半距点 所以 1 2 PNMN 1 如解图 1 因为 1 1 6cm 3cm 2 MNPNMN 所以 11 3cmMPMNPN 2 如解图 2 因为MN 2 1 6cm 3cm 2 P NMN 所以 22 9cmMPMNP N 所以3cmMP 或9cm 2 1 如解图 1 点 1 G是线段 1 MP的中点 所以 11 13 cm 22 MGMP 所以 11 39 6cm 22 G NMNMG 2 如解图 2 点 2 G是线段 2 MP的中点 所以 22 19 cm 22 MGMP 所以 22 93 6cm 22 G NMNMG 所以线段GN的长度为 9 cm 2 或 3 cm 2 8 已知线段 8AB 点 A 在点 B 的左侧 1 若在直线 AB 上取一点 C 使得 3ACCB 点 D 是 CB 的中点 求 AD 的长 2 若 M 是线段 AB 的中点 点 P 是线段 AB 延长线上任意一点 点 N 是线段 BP 的 中点 求 PM AN MN 的值 解 1 当点 在线段 上时 因为 3 ACBC ABACBC 所以 83BCBC 所以 2 6BCAC 因 为 点 D 是CB的 中 点 所 以 1 1 2 CDBDBC 所 以 617ADACCD 当点 C 在线段AB的延长线上时 因为 328ABACBCBCBCBC 所以 4BC 因为 8AB 所以 12AC 因为点 D 是CB的中点 所以 1 2 2 BDCDBC 所以 8210ADABBD 当点 C 在 BA 的延长线上时 明显 此情况不存在 综上所述 AD 长豙 7 或者 10 2 因为 M 是线段 AB 的中点 点 N 是线段 BP 的中点 所以 11 22 BMAB BNPB 所以 1111 2222 MNBMBNABPBABPBAP 所以 1213 PMANAPMNAP MNMNMN
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