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人教版七年级数学上册第4章几何图形初步4 3 3余角和补角 学习目标1 了解余角 补角的概念 掌握余角和补角的性质 并能利用余角 补角的知识解决相关问题 2 了解方位角的概念 并能用方位角知识解决一些简单的实际问题 对于三角板 我们已经很熟悉了 我们来回顾一下三角板各个角的度数 45 45 90 60 30 90 在一副三角尺中 每块都有一个角是90o 而其他两个角的和是90o 30o 60o 90o 45o 45o 90o 一般地 如下图 如果两个角的和等于90 直角 就说这两个角互为余角 简称为两个角互余 即其中一个角是另一个角的余角 一 余角和补角的概念 如图 1与 2互为余角 也可以说 1是 2的余角 或者 2是 1的余角 余角是成对出现的 所以不能说某个角是余角 图中给出的各角 哪些互为余角 15o 24o 66o 75o 46 2o 43 8o 类似地 如下图 如果两个角的和等于180 平角 就说这两个角互为补角 即其中一个角是另一个角的补角 补角是成对出现的 所以不能说某个角是补角 如图 3与 4互为补角 也可以说 3是 4的补角 或者 4是 3的补角 1 图中给出的各角 哪些互为补角 2 图中给出的各角中 哪些互为余角 哪些互为补角 解 互余的角有 与 与 互补的角有 与 与 与 与 3 填表 50 45 150 45 135 130 40 60 30o 90 n 180o n 1的度数 1的余角 1的补角 4 已知3组数 对A组的每一个角 在B组中找出它的补角 并用线连接 B组中有哪些角的余角在C组中 分别找出并用线连接 55 145 100 55 80 170 35 15 125 10 10 115 35 105 75 A C B 例1 若一个角的补角等于它的余角的4倍 求这个角的度数 解 设这个角为x 则它的补角是 180 x 余角是 90 x 根据题意 得180 x 4 90 x 解得x 60 答 这个角的度数是60 1 一个角是70 39 求它的余角和补角 3 一个角是钝角 它的一半是什么角 它的余角呢 补角呢 2 一个角的补角是它的3倍 这个角是多少度 解 余角 90 70 39 19 21 补角 180 70 39 109 21 解 180 x 3x x 45 解 它的一半是锐角 因为钝角大于90 所以它没有余角 补角是锐角 4 已知 A与 B互余 且 A的度数比 B度数的3倍还多30 求 B的度数 解 设 B的度数为x 则 A的度数为 3x 30 根据题意得 x 3x 30 90 解得x 15 故 B的度数为15 例2 如图 已知O为AD上一点 AOC与 AOB互补 OM ON分别为 AOC AOB的平分线 若 MON 40 试求 AOC与 AOB的度数 解 设 AOB x 因为 AOC与 AOB互补 则 AOC 180 x 因为OM ON分别为 AOC AOB的平分线 所以 解得x 50 则180 x 130 即 AOB 50 AOC 130 所以 AOM AOM 27 37 117 37 85 175 58 148 45 135 103 13 90 x 180 x 观察可得结论 锐角的补角比它的余角大 90 1与 2 3都互为补角 2与 3的大小有什么关系 二 余角和补角的性质 思考 同角 等角 的补角相等 结论 2 180 1 3 180 1 同角 等角 的余角相等 类似地 可以得到 例3 如图 点A O B在同一直线上 射线OD和射线OE分别平分 AOC和 BOC 图中哪些角互为余角 解 因为点A O B在同一直线上 所以 AOC和 BOC互为补角 所以 COD和 COE互为余角 同理 AOD和 BOE AOD和 COE COD和 BOE也互为余角 又因为射线OD和射线OE分别平分 AOC和 BOC 所以 COD COE AOC BOC AOC BOC 90 如图 O为直线AB上一点 OD平分 AOC DOE 90 1 AOD的余角是 COD的余角是 2 OE是 BOC的平分线吗 请说明理由 COE BOE COE BOE 解 OE平分 BOC 理由如下 DOE 90 AOD BOE 90 COD DOE 90 AOD BOE COD DOE OD平分 AOC AOD COD COE BOE OE平分 BOC 如图 已知 AOB 90 AOC BOD 则与 AOC互余的角有 BOC和 AOD 东 西 北 南 O 正东 正南 正西 正北 西北方向 西南方向 东北方向 东南方向 射线OA A B C D 45 45 八大方位 45 45 射线OB 射线OC 射线OD 射线OE 射线OF 射线OH 射线OG 三 方位角 45 如图 说出下列方位 1 射线OA表示的方向为 2 射线OB表示的方向为 3 射线OC表示的方向为 4 射线OD表示的方向为 北 东 西 南 C A B D 北偏东40 北偏西65 南偏西45 西南 南偏东20 40 65 70 O 20 例4 如图 货轮O在航行过程中 发现灯塔A在它南偏东60 的方向上 同时 在它北偏东40 南偏西10 西北 即北偏西45 方向上又分别发现了客轮B 货轮C和海岛D 仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B 货轮C和海岛D方向的射线 B C A D 画法 1 以点O为顶点 表示正北方的射线为角的一边 画40 的角 使它的另一边OB落在东与北之间 射线OB的方向就是北偏东40 即客轮B所在的方向 2 同理画出射线OC 射线OD 射线OC 射线OD即为所求 B C A D 1 一个角的余角是它的2倍 这个角的度数是 A 30 B 45 C 60 D 75 A 2 下列说法正确的是 A 一个角的补角一定大于它本身B 一个角的余角一定小于它本身C 一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D 一个角的余角一定小于其补角 D 3 已知 A与 B互余 B与 C互补 若 A 60 则 C的度数是 150 4 1与 2互余 1 6x 8 2 4x 8 则 1 2 62 28 5 如图 已知 ACB CDB 90 1 图中有哪几对互余的角 2 图中哪几对角是相等的角 直角除外 为什么 答案 A B 90 A 2 90 1 B 90 1 2 90 答案 B 2 A 1 同角的余角相等 同角的余角相等 60 30 6 垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面 从A船发现它的北偏东60 方向有白色漂浮物 同时 从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30 方向 1 试在图中确定白色漂浮物C的位置 A B 北 北 C 60 A 南偏东30 B 南偏西30 C 南偏东60 D 南偏西60 2 点C在点A的北偏东60 的方向上 那么点A在点C的 方向上 60 30 A B 北 北 C D 1 2021 上海11 25 70 的余角是 分析 根据余角的定义即可求解 解答 解 根据定义一个角是70 则它的余角度数是90 70 20 故答案为20 点评 本题主要考查了余角的概念 掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键 2 3分 2020 陕西2 25 若 A 23 则 A余角的大小是 A 57 B 67 C 77 D 157 分析 根据 A的余角是90 A 代入求出即可 解答 解 A 23 A的余角是90 23 67 故选 B 点评 本题考查了互余的应用 注意 如果 A和 B互为余角 那么 A 90 B 3 3分 2020 通辽4 26 如图 将一副三角尺按下列位置摆放 使 和 互余的摆放方式是 A B C D 分析 根据余角和补角的概念 结合图形进行判断即可 解答 解 A 与 互余 故本选项正确 B 故本选项错误 C 故本选项错误 D 与 互补 故本选项错误 故选 A 点评 本题考查了余角和补角 是基础题 熟记概念与性质是解题的关键 同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等 方位角 物体运动的方向与正北 正南方向之间的夹角称为方位角 一般以正北 正南为基准 用向东或向西旋转的角度表示方向 定义 书写 通常要先写北或南 再写偏东或偏西 P139 习题4 3 第8 11 12 13题
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