18.2.2 菱形的性质.doc
梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 1 页 共 6 页 第十八章 平行四边形 18.2.2 菱 形 第 1 课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系; 2. 探索并证明菱形的性质定理; 3. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题 . 重点 探索并证明菱形的性质定理 . 难点 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题 . 一、 知识 回顾 1.平行四边形是什么它有哪些性质 2.矩形有哪些不同于平行四边形的性质 二、 新知预习 1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到,如果从边的角度 ,将平行四边形特殊化 , 内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等 ,这个特殊的平行四边形叫什么 呢 2.自主学习 1菱形的定义有一组邻边 _________的平行四边形 . 2菱形是特殊的平行四边形,平行四边形 _________是菱形 . 三、 自学自测 1.菱形是常见的图形,你能举出一些生活中的实例吗 2.菱形是特殊的平行四边形,你能根据平行四边形的性质,说出菱形的 3 条性质吗 四、 我的疑惑 ____________________________________________________________ 一、 要点探究 探究点 1 菱形的性质 活动 1 如何利用折纸、剪切的方法 ,既快又准确地剪出一个菱形纸片观看下面讲解 第一步从下往上对折纸片; 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前 完成自主学 习部分 梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 2 页 共 6 页 第二步从左往右对折纸片;第三步画斜线,剪下直角三角形 . 活动 2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕 ,折叠手中的图形 如图) . 想一想 1.菱形是轴对称图形吗 如果是 ,指出它的对称轴 . 2.根据上面折叠过程,猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什 么关系 猜想 1菱形的四条边都 __________. 猜想 2菱形的两条对角线互相 _______,并且每一条对角线 ________一组对角 . 证一证 已知如图,在平行四边形 ABCD中, ABAD,对角线 AC与 BD相交于点 O. 求证 1AB BC CD AD; 2AC⊥ BD;∠ DAC∠ BAC,∠ DCA∠ BCA,∠ ADB∠ CDB, ∠ ABD∠ CBD. 证明( 1)∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴ AB___CD, AD___BC. 又 ∵ ABAD, ∴ AB___BC___CD___AD. ( 2)∵ AB AD, ∴△ ABD是 ______三角形 . 又∵四边形 ABCD是平行四边形 , ∴ OB___OD. 在等腰三角形 ABD中 , ∵ OB OD, ∴ AO___BD, AO平分∠ BAD, 即 AC___BD,∠ DAC____∠ BAC. 同理可证∠ DCA___∠ BCA,∠ ADB___∠ CDB,∠ ABD___∠ CBD. 要点归纳 菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边 形所没有的特殊性质 . 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 1.对称性是轴对称图形 . 2.边四条边都相等 . 3.对角线互相垂直,且每条对角线平 分一组对角 . 1.角对角相等 . 2.边对边平行且相等 . 3.对角线相互平分 . 例 1 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、 BD 相交于点 O, BD= 12cm, AC= 6cm,求菱 形的周长. 教学备注 梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 3 页 共 6 页 例 2 如图,在菱形 ABCD 中, CE⊥ AB 于点 E, CF⊥ AD 于点 F,求证 AE= AF. 方法总结 菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线 平分一组对角. 例 3 如图, E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点,且 ABAE, AE 交 BD 于 O,且∠ DAE2∠ BAE,求证 OAEB. 针对训练 1.如图,在菱形 ABCD 中 ,已知∠ A= 60° ,AB= 5,则△ ABD 的周长是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20 2.如图,菱形 ABCD 的周长为 48cm,对角线 AC、 BD 相交于 O 点, E 是 AD 的中点,连 接 OE,则线段 OE 的长为 _______. 探究点 2菱形的面积 想一想 1.菱形是特殊的平行四边形 ,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 ABCD的 面积吗 2.前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直 ,那么能否利用 对角线来计算菱 教学备注 第 1题图 第 2题图 梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 4 页 共 6 页 形 ABCD的面积呢 3.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC, BD 交于点 O,试用对角线表示出菱形 ABCD的面积 . 解∵四边形 ABCD是菱形, ∴ AC⊥ BD, ∴ S 菱形 ABCDS△ ABC S△ ADC ________________ ____AC__________ _____________. 要点归纳 菱形的面积 底高 ___________乘积的 一 半 . 典例精析 例 4 如图,在菱形 ABCD 中,点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点,且在△ AOB 中, OA= 5, OB= 12.求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 方法总结 菱形的面积计算有如下方法 1一边长与两对边的距离 即菱形的高 的积; 2 四个小直角三角形的面积之和 或一个小直角三角形面积的 4 倍 ; 3两条对角线长度乘积 的一半. 例 5教材 P56 例 3变式 如图,在菱形 ABCD 中,∠ ABC与∠ BAD的度数比为 1 2,周长是 8cm.求 ( 1) 两条对角线的长度; ( 2) 菱形的面积. 方法总结 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形,当菱形中有 一个角是 60°时,菱形被分为以 60°为顶角的两个等边三角形 . 教学备注 梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 5 页 共 6 页 针对训练 如图,已知菱形的两条对角线分别为 6cm和 8cm,则这个菱形的高 DE 为( ) A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm 二、 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 边 1.两组对边平行且相等; 2.四条边相等 角两组对角分别相等,邻角互补邻角互补 对角线 1.两条对角线互相垂直平分; 2.每一条对角线平分一组对角 有关计 算 1.周长 边长的四倍 2.面积 底高 两条对角线乘积的一半 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.如图,在菱形 ABCD 中, AC8, BD6,则△ ABD 的周长等于( ) A.18 B.16 C.15 D.14 3.根据下图填一填 ( 1)已知菱形 ABCD的周长是 12cm,那么它的边长是 ______. ( 2)在菱形 ABCD中,∠ ABC= 120 °,则∠ BAC= _______. ( 3)菱形 ABCD的两条对角线长分别为 6cm和 8cm,则菱形的边长是 _______. ( 4)菱形的一个内角为 120° ,平分这个内角的对角线长为 11cm,菱形的周长为 ______. ( 5)菱形的面积为 64cm2,两条对角线的比为 1∶ 2,则菱形最短的那条对角线长为 ______. 4.如图 ,四边 形 ABCD是边长为 13cm的菱形 ,其中对角线 BD 长 10cm. 当堂检测 第 2 题图 第 3 题图 教学备注 梁河县平山中学 主备人刘正进 审核数学 教研组 成员邵宗良 刘正进 瞿明普 第 6 页 共 6 页 求 1对角线 AC 的长度 ;2菱形 ABCD的面积 . 5. 如图,四边形 ABCD是菱形, F是 AB上一点, DF交 AC于 E. 求证∠ AFD∠ CBE. 6. 如图, O是菱形 ABCD对角线 AC与 BD的交点, CD= 5cm, OD= 3cm;过点 C作 CE∥ DB,过 B 点作作 BE∥ AC, CE 与 BE 相交于点 E. 1求 OC的长; 2求四边形 OBEC的面积.