22.1一元二次方程.docx
22 122 1 一元二次方程一元二次方程 一 复习 检查 复习 检查 一元一次方程的概念 二 介绍新课 目标展示 二 介绍新课 目标展示 1 了解一元二次方程的概念 一般形式0 2 cbxax a 0 2 掌握一元二次方程的判断方法 能正确判断出一元二次方程 3 能正确将一元二次方程化为一般形式并指出各项的系数 常数项 三 自学与精讲 生生互动 三 自学与精讲 生生互动 问题问题 1 1 要设计一座 2m 高的人体雕像 使雕像的上部 腰以 上 与下部 腰以下 的高度比 等于下部与全部 全身 的高度 比 雕像的下部应设计为多高 分析 设雕像下部高 x m 则上部高 2 x m 得方程 x 2 2 2 x 整理得 x 2 2x 4 0 问题问题 2 2 如图 有一块长方形铁皮 长 100cm 宽 50cm 在它的四 角各切去一个同样的正方形 然后将四周突出部分折起 就能制作 一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的 底面积为 3600cm 2 那么铁皮各角应切去 多大的正方形 分析 设切去的正方形的边长为 x cm 则 盒 底 的 长 为 100 2x m 宽 为 50 2x m 得方程 100 2x 50 2x 3600 整理得 x 2 72x 350 0 问题问题 3 3 要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都要比赛一 场 根据场地和时间等条件 赛程计划安排 7 天 每天安排 4 场比赛 比赛组织者应邀请多少个队参赛 分析 全部比赛的场数为 28 设应邀请 x 个队参赛 每个队要与其他 x 1 个队各赛 1 场 所以全部比赛共 0 5x x 1 场 列方程 0 5x x 1 28 化简整理得 x 2 x 56 观察并思考下面问题 上述 都是一元一次方程吗 这三个方程有什么共特征 让学生仔细观察前面三个问题所列出的方程共同特征 可分组 交流讨论 方程 的共同特点是 1 方程的两边都是整式方程 2 只含有一个未知数 一元 3 未知数的最高次数是 2 二次 引导学生借鉴 一元一次方程 的定义方式尝试归纳出 一元二 次方程 的定义 一元二次方元二次方程程 等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知 数的最高次数是 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 例例 1 1 下列方程中哪些是一元二次方程 1 052 2 xx 2 0134 yx 3 0 2 cbxax 4 02 1 xx 5 0 1 2 a a 6 1 2 2 m 进一步观察例 1 中的一元二次方程 通过去括号 移项 把所 有项移到左边并按未知数的降幂排列 看看有什么共同特征 此处尽可能让学生充分交流 探讨 引导学生归纳出一元二次此处尽可能让学生充分交流 探讨 引导学生归纳出一元二次 方程的一般形式 方程的一般形式 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 0 2 cbxax 0 a 其中 2 ax是二次项 a是二次项系数 bx是一次项 b是一次项系数 c是常数项 注意 二次项系数 一次项系数 常数项都要包含它前面的 符号 二次项系数是一个重要条件 不能漏掉 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 例例 2 2 请分别指出下列一元二次方程的 二次项系数 一次项 0a 一次项系数和常数项 1 013 2 xx 2 03 2 1 2 x 3 054 2 xx 例例 3 3 将一元二次方程 2 5 1 3 xxx 化为一般形式 并写 出它的二次项系数 一次项系数及常数项 解 解 去括号 得 10533 2 xxx 移项 合并同类项 得 01083 2 xx 其中二次项的系数为3 一次项系数为8 常数项为10 四 练习 检测 点评 四 练习 检测 点评 基础练习基础练习 1 1 将下列方程化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二 次项系数 一次项系数及常数项 1 xx415 2 2 814 2 x 3 25 2 4 xx 4 38 1 23 xxx 拓展练习拓展练习 2 2 根据下列问题 列出关于 x 的方程 并将其化成一般形式 1 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25 求正方形的边 长 x 2 一个长方形的长比宽多 2 面积是 100 求长方形的长 x 3 把长为 1 的木条分成两段 使较短一段的长与全长的积 等于较长一段的长的平方 求较短一段的长 x 五 课堂小结 五 课堂小结 由学生自主总结 1 本节课你学习了哪些新知识 请归纳出来 2 一元二次方程与一元一次方程有哪些相同点和不同点 试比 较说明 六 六 布置作业 布置作业 课本 6 习题 22 1 第 1 2 3 题 反思 21 2 1 解一元二次方程 第 1 课时 配方法 一 复习 检查 复习一元二次方程的概念和一元二次方程的解 二 介绍新课 目标展示 1 会用直接开平方法解一元二次方程 2 掌握配方的基本步骤 会用配方法解一元二次方程 3 在探究用配方法解一元二次方程的过程中 进一步体会化 归思想 三 自学与精讲 师生互动 问题 1 在设计人体雕像时 使雕像的上部 腰以上 与下部 腰以下 的高度比 等于下部与全部 全身 的高度比 可以增 加视觉美感 按此比例 如果雕像的高为 2m 那么它的下部应设计 为多高 师生活动 老师展示章前引言 学生思考后 列出方程并整理得 x 2 2x 4 0 教师追问 这个实例得到的是一个一元二次方程 现在将学习如 何解这样的方程 请同学们回忆一下 我们以前学过解哪些方程 从这些方程的解法中 你能得到什么启发 师生活动 学生回顾以前学习过的方程 教师引导学生得出 解二元一次方程组 三元一次方程组是通过 消元 将方程转 化为一元一次方程 类比可知 如果能设法把二次 降 为一次 那么就可以把一元二次方程转化为会解的一元一次方程了 设计意图 通过类比 消元法 得出解一元二次方程的基本思 路 降次 2 探索 配方法 问题 2 我们要得到一元二次方程的解法 为此 我们先从特殊 的方程入手 你会解方程 x 2 25 吗 依据是什么 师生活动 教师先引导学生判断方程 x 2 25 是一元二次方程 并 指出二次项系数 一次项系数和常数项各是多少 再根据平方根的 意义解方程 x 2 25 教师追问 1 类似地 你能给出下列方程的解吗 x 2 3 2x2 8 0 x2 0 x2 2 教师追问 2 上述方程有什么共同点 再判断它们解的情况 师生活动 学生口答解方程的过程 归纳出一般形式 x 2 p 并根 据 p 的取值范围得到方程的解的三种情况 教师板书 设计意图 根据平方根的意义解一元二次方程 x 2 p 并根据 p 的 取值讨论出方程的解的三种情况 为探究配方法奠定基础 问题 3 如果方程为 x 3 2 5 你认为怎么解 师生活动 学生通过观察对比这一类方程与 x 2 p 没有实质差异 也可以根据平方根的意义 直接开平方 将方程 x 3 2 5 两边开平 方得 x 3 5 将它转化为两个一元一次方程 x 3 5或 x 3 5 设计意图 通过对比让学生体会方程结构特征 为后续化归奠定 基础 问题 4 怎样解方程 x 2 6x 4 0 师生活动 先让学生观察 尝试 教师追问 1 我们能将这个方程转化为上面会解的方程吗 把方 程 x 3 2 5 的左边展开 得到 x2 6x 9 5 比较方程 你发 现了什么 由此你能得到方程 的解法吗 教师追问 2 把方程 化成方程 x 3 2 5 的步骤是什么 其中 的关键是什么 师生活动 先让学生独立思考 合作讨论 然后 教师组织交流 引导学生发现并总结转化的步骤 第一步 把方程 左边的常数项变为 9 得到 x 2 6x 9 5 第二步 将方程左边写成完全平方式 教师追问 3 为什么把方程 左边的常数项变为 9 其它数为什 么不行 师生活动 教师提出问题 学生思考 讨论 发表意见 教师引 导学生发现 要想使方程左边化成完全平方式 对照完全平方式中 一次项系数的特征可知 当二次项系数为 1 时 需要在方程两边加 上一次项系数一半的平方 即 2 6 2 3 2 9 而其它数不能把方程左边 的式子化成完全平方式 所以不行 设计意图 通过一系列教师追问 引导学生通过比较方程 和方 程 x 3 2 5 获得配方的基本思路和步骤 问题 4 结合方程 的解答过程 请说出解一元二次方程 x 2 px q 0 的基本思路 具体步骤是什么 要注意什么问题 师生活动 学生独立思考 讨论 总结 教师引导学生得出 基 本思路是将含有未知数的项配成完全平方式 最后得出具体步骤 设计意图 引导学生讨论归纳出用配方法解方程 x 2 px q 0 的具 体步骤 练习 解方程 x 2 2x 4 0 师生活动 学生独立完成 请学生板书 根据总结的步骤 给出 规范格式 完成引例 这里要强调根据实际意义检验方程的根 设计意图 规范细化解题步骤 明确解题过程中每一步的目的 问题 6 通过解方程 x 3 2 5 x2 6x 4 0 x2 2x 4 0 你能归 纳这些方程的解的情况吗 师生活动 先由学生归纳 通过补充完善 得出 将方程化为 x n 2 p 根据 p 的取值情况 得到方程的解的三种情况 设计意图 从特殊到一般 归纳用配方法解方程的一般思路 将 方程配方成为 x n 2 p 的形式后 要让学生知道 p 可能的取值情 况 由此得出方程的解的三种情况 为下节课推导求根公式奠定基 础 四 练习 检测 点评 1 配方使等式成立 x 2 4x x 2 设计意图 考查在配方时加多少才能成为完全平方 为实现直接 开平方做好准备 2 用配方法解下列方程 1 x 2 7 2 x 2 2 9 0 3 x 2 6x 7 0 设计意图 考查用配方法解一元二次方程 五 课堂小结 回顾本节课所学主要内容 回答以下问题 1 用配方法解一元二次方程的基本思路是什么 2 配方法解一元二次方程的一般步骤是什么 3 用配方法解一元二次方程的过程中 应该注意哪些问题 师生活动 教师提出小结问题 学生思考 交流后发表观点 教 师引导学生总结得到 1 把方程转化为 x n 2 p 的形式 运用开平方法 降次求 解 2 解一元二次方程的一般步骤 3 配方时 要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方 六 布置作业 教科书第 6 页练习 第 9 页练习 1 2 移项 配方 降次 解一次方程 得方程的解 反思