平行四边形判定.ppt

18 1平行四边形 第3课时平行四边形的判定 1 两组对边平行或相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 学习目标 平行四边形的性质平行四边形对边平行 平行四边形对边相等 平行四边形对角相等 平行四边形对角线互相平分 课时导入 1 知识点 两组对边平行或相等的四边形是平行四边形 一装潢店要招聘店员 老板出了这样一道考题 一顾客要一张平行四边形的玻璃 你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求 感悟新知 从边看 方法一 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定义法 数学表达式 如图 AB CD AD BC 四边形ABCD是平行四边形 方法二 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 数学表达式 如图 AB CD AD BC 四边形ABCD是平行四边形 要证四边形BFDE是平行四边形 根据平行四边形的定义可证得DF BE 因此可采用判定方法一即定义法证明DE FB即可 例1如图所示 已知四边形ABCD是平行四边形 DE平分 ADC 交CB的延长线于点E BF平分 ABC 交AD的延长线于点F 求证 四边形BFDE是平行四边形 导引 典型例题 四边形ABCD是平行四边形 ADC ABC AD CB DF BE DE平分 ADC BF平分 ABC 1 2 3 4 AD BC 1 E E 3 DE FB 四边形BFDE是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 证明 总结 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法 也是其他判定方法的基础 当题目中出现平行的线段时 往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断 例2如图 分别以 ABC的三边为一边 在BC的同侧作等边三角形ABD 等边三角形BCE 等边三角形ACF 连接DE EF 求证 四边形ADEF是平行四边形 由等边三角形的性质可以得到线段相等 角相等 进而可以通过全等三角形证明四边形ADEF的两组对边分别相等 最后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 导引 ABD BCE ACF都为等边三角形 DB AB AD BE BC AC AF DBA 60 EBC 60 DBE 60 EBA ABC 60 EBA DBE ABC DBE ABC DE AC 又 AC AF AF DE 同理可证 ABC FEC AB FE FE AD 四边形ADEF是平行四边形 证明 总结 根据等边三角形的性质可以得到线段相等 角相等 进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF的两组对边分别相等 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证 如图 AB DC EF AD BC DE CF 图中有哪些互相平行的线段 AB CD AD BC CD EF DE CF AB EF 解 随堂检测 2四边形的四条边长分别是a b c d 其中a b为一组对边长 c d为另一组对边长且a2 b2 c2 d2 2ab 2cd 则这个四边形是 A 任意四边形B 平行四边形C 对角线相等的四边形D 对角线垂直的四边形 B 2 知识点 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 几何语言 ABC ADC BAD BCD 四边形ABCD是平行四边形 如图所示 例3如图 在 ABCD中 BE平分 ABC 交AD于点E DF平分 ADC 交BC于点F 那么四边形BFDE是平行四边形吗 为什么 利用平行四边形对角相等的性质可得 ABC ADC A C 然后再依据角平分线的定义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组对角分别相等 于是可得出结论 导引 四边形BFDE是平行四边形 理由 在 ABCD中 ABC ADC A C BE平分 ABC DF平分 ADC ABE CBE ABC CDF ADF ADC CDF ADF ABE CBE DFB C CDF BED ABE A DFB BED 四边形BFDE是平行四边形 解 总结 当已知条件出现所要说明的四边形的角时 可选择 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 来判定 1下列给出的条件中 能判定四边形ABCD是平行四边形的是 A AB CD AD BCB AB AD CB CDC AB CD AD BCD B C A D C 巩固练习 3 知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形 过前面的学习 我们知道 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 反过来 对边相等 或对角相等 或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗 也就是说 平行四边形的性质定理的逆命题成立吗 下面我们以 对角线互相平分的四边形是平行四边形 为例 通过三角形全等进行证明 思考 如图 在四边形ABCD中 AC BD相交于点O 且OA OC OB OD 求证 四边形ABCD是平行四边形 OA OC OD OB AOD COB AOD COB OAD OCB AD BC 同理AB DC 四边形ABCD是平行四边形 证明 从对角线看 对角线互相平分的四边形是平行四边形 数学表达式 如图 OA OC OB OD 四边形ABCD是平行四边形 新知讲授 四边形ABCD是平行四边形 AO CO BO DO AE CF AO AE CO CF 即EO FO 又BO DO 四边形BFDE是平行四边形 例4如图 ABCD的对角线AC BD相交于点O E F是AC上的两点 并且AE CF 求证 四边形BFDE是平行四边形 证明 总结 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线互相平分 即交点既是第一条对角线的中点 又是第二条对角线的中点 如图 ABCD的对角线AC BD相交于点O E F分别是OA OC的中点 求证BE DF 因为四边形ABCD是平行四边形 所以BO DO OA OC 因为E F分别是OA OC的中点 所以OE OA OC OF 又因为 BOE DOF 所以 BOE DOF 所以BE DF 解 巩固练习 如图 线段AB CD相交于点O 且图上各点把线段AB CD四等分 这些点可以构成 个平行四边形 4 4 知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 我们知道 如果一个四边形是平行四边形 那么它的任意一组对边平行且相等 反过来 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗 我们猜想这个结论正确 下面进行证明 思考 感悟新知 如图 在四边形ABCD中 AB CD 且AB CD 求证 四边形ABCD是平行四边形 连接AC AB CD 1 2 又AB CD AC CA ABC CDA BC DA 四边形ABCD两组对边分别相等 它是平行四边形 证明 归纳 于是我们又得到平行四边形的一个判断定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 数学表达式 如图 ABCD 四边形ABCD是平行四边形 新知讲授 四边形ABCD是平行四边形 AB CD EB FD 又EB AB FD CD EB FD 四边形EBFD是平行四边形 例5如图 在 ABCD中 E F分别是AB CD的中点 求证 四边形EBFD是平行四边形 证明 总结 要证四边形是平行四边形 已知有一组对边平行 联想的思路有两种 一是证明另一组对边平行 二是证明平行的这组对边相等 而证明边相等要三角形全等这条思路较常见 为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 你能说出其中的道理吗 因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 所以铁轨和夹在铁轨之间的枕木构成了平行四边形 因此可知两条直铺的铁轨是互相平行的 解 巩固练习 如图 在 ABCD中 BD是它的一条对角线 过A C两点分别作AE丄BD CF丄BD E F为垂足 求证 四边形AFGE是平行四边形 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB CD AB CD 所以 CDB ABD 又因为AE BD CF BD 所以 AEB CFD 90 所以AE CF 在 ABE和 CDF中 AB CD ABE CDF AEB CFD 所以 ABE CDF 所以AE CF 又因为AE CF 所以四边形AFCE是平行四边形 解 3 中考 湘西州 下列说法错误的是 A 对角线互相平分的四边形是平行四边形B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D 一组对边相等 另一组对边平行的四边形是平行四边形 D 4 中考 衡阳 如图 在四边形ABCD中 AB CD 要使四边形ABCD是平行四边形 可添加的条件不正确的是 A AB CDB BC ADC A CD BC AD B 5 如图 在 ABCD中 点E F分别在AD BC上 若要使四边形AFCE是平行四边形 可以添加的条件是 AF CF AE CE BF DE AF CE A 或 B 或 C 或 D 或 C 6 下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 A AB CD AD BCB A C B DC AB CD AD BCD AB CD AD BC D 平行四边形的判定方法 1 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1 知识小结 课堂小结