重难点25 等腰三角形.docx

重难点重难点 25 等腰三角形等腰三角形 第第 121 天天 边角关系巧变形边角关系巧变形 1 在 ABC 中 已知 AB AC 且过 ABC 某一顶点的直线可将 ABC 分成两个等腰三角形 试求 ABC 各内角的度数 1 解 1 如解图 1 这是最容易想到的了吧 因为 ABAC BDCDAD 所以BCBADCAD 因为180BACBC 所以4180B 所以45 45 90BCBAC 2 如解图 2 因为 ABAC ADBD ACCD 所以 BCBADCADCDA 因为2CDABBADB 所以3BACB 因为180BACBC 所以5180B 所以36 36 108BCBAC 你以为到这就结束了 那顶点B呢 3 如解图 3 因为 ABAC ADBDBC 所以 ABCCAABDBDC C 因为2BDCAABDA 所以2 ABCCA 因为180AABCC 所以5180A 所以36 72 72ACABC 4 如解图 4 因为 ABAC ADBD CDBC 所以 ABCCAABDCDB CBD 因为2BDCAABDA 所以3CABCA 因为180AABCC 所以7180A 所以 180540 77 ACABC 540 7 综上所述 符合题意的ABC各内角的度数分别为90 45 45 或108 36 36 或36 72 72 或 180540540 777 第第 122 天天 三线合一要牢记三线合一要牢记 2 如图 在 ABC 中 A 20 AB AC D 是边 AC 上一点 AD BC 求 DBA 的度数 2 山重水复疑无路 小鹿给你指指路 解 在 BC 上方以 BC 为边作等边BCE 连接 AE解图略 这波操作也是很 666 了 那你知道这样做有什么好处呢 往下看吧 则 60BCBEECEBCECB 因为ADBC 所以ADBE 因为ABAC 所以直线 AE 垂直平分 BC 所以 1 10 2 BAEBAC 因为 1 18020 2 ABEABCEBC 60806020 所以ABEBAD 在ABD和BAE中 ABBA BADABE ADBE 所以 SAS ABDBAE 所以10DBAEAB 柳暗花明又一村了吧 作辅助线的初衷始终末改 第第 123 天天 有数无形古难全有数无形古难全 3 已知等腰三角形的周长为 24 一腰上的中线把三角形分为两个三角形 两个三角形的周长差 是 3 求等腰三角形底边的长 3 又是无图 小伙伴们你的数学第六感有没有敲击你的小脑袋 告诉你要分情况讨论 解 如解图 等腰ABC中 ABAC 点D为 AC 的中点 设ABACx 因为点D为 AC 的 中点 ABC的周长为 24 所以 1 24 24 2 ADCDx BCABAC 2x 1 当ABD的周长大于BCD的周长时 因为 3ABADBDBCCDBD 所以3ABBC 即 242 3xx 解得9x 所以9 2426ABACBCx 9 9 6 能组成三角形 符合题意 2 当BCD的周长大于ABD的周长时 因为 3BCCDBDABADBD 所以3BCAB 即242xx 3 解得7x 所以7 24210ABACBCx 7 7 10 能够组成三角形 符合题意 综上所述 等腰三角形的底边长为 6 或 10 第第 124 天天 高线相交有特殊高线相交有特殊 4 在 ABC 中 AB AC AD 和 CE 是高 它们所在的直线相交于点 H 1 如图 若 BAC 45 试说明 AH 2BD 2 如图 若 BAC 135 1 中的结论是否仍然成立 请说明理由 4 解 1 因为 ABAC ADBC 所以2BCBD 因为 45CEABBAC 所以45ECA 所以AECE 又因为 ADBC CEAB 所以 EAHECB 在 AEH和CEB中 EAHECB AECE AEHCEB 所以AEHCEB ASA 所以AHBC 所以2AHBD 2 证明相等关系还在不在 那就去看看全等关系有没有变吧 1 中结论仍然成立 理由如下 过点A作ADBC 过点C作CEBA 交BA延长线于点E CE DA的延长线交于 点H 解图略 因为135BAC 所以45CAE 因为AEHC 所以45ACECAE 所以AECE 因为 HDBC BEHC 所以BH 在BEC和HEA中 BH BECHEA CEAE 所以 AAS BECHEA 所以AHBC 因为 ABAC ADBC 所以2BCBD 所以2AHBD 第第 125125 天天 借角献图等角显借角献图等角显 5 如图 在ABC 中 2BC 且ACABBD 求证 AD是BAC 的平分线 5 是不是觉得学了一身技能而无处施展 来 竞赛题了解一下 解 延长CB 并在CB的延长线上截取BE AB 连接AE 解图略 因为ABBE 所以EBAE 因为180ABCABE 180EBAEABE 所以22ABCEBAEEC 小鹿提前教你一招 后面会用到的 三角形外角等于不相邻的两个内角和 所以BAEEC 所以AEAC 因为 ACABBD DEBEBDABBD 所以DEACAE 所以EADADE 因为EADEABBADCBAD ADECCAD 所以BADCAD 所以AD平分BAC 数学家简介 项武义 著名数学家 数学教育家 著名的几何学家 早年致力于变换群 李群和整体微 分几何的研究 1990 年后主要从事古典几何研究 项武义先生在初等数学教学研究方面也颇有 建树 尤其重视师资培养 他所著的 基础数学讲义 中学数学教材参考资料 广受我国中 学教师和学生的好评 1992 年 他和夫人谢宛珍博士以及中科院院士 原复旦大学的谷超豪教 授等人共同发起并个人捐资创办了 苏步青数学教学基金会 设立了 苏步青数学教育奖 主要奖励教学和科研中都取得突出成绩的中学数学教师 被认为是我国中学数学教育界的最高 荣誉 综合综合强化练强化练 2525 1 如图 AOB 是一个钢架 且 10AOB邪 为了使钢架更加牢固 需要在内部添加一些钢 管 EF FG GH添加的钢管长度都与OE相等 则最多添加这样的钢管 根 1 8 解析 因为添加的钢管长度都与OE相等 10AOB 所以20 GEFFGE 从图中我们会发现有好几个等腰三角形 即第一个等腰三角形的底角是10 第二个的底角 是20 第三个的底角是30 第四个的底角是40 第五个的底角是50 第六个的底角是60 第七个的底角是70 第八个的底角是80 第九个的底角是90 构不成三角形 所以最多能添 加这样的钢管 8 根 2 定义 等腰三角形的顶角与其一个底角的比值k称为这个等腰三角形的 特征值 若等腰 ABC中 80A 则它的特征值 k 2 A 谁是 AA 在哪 那不得分情况考虑一下 8 5 或 1 4 解析 当A 为顶角时 等腰三角形两底角的度数为 18080 50 2 所以特征值 808 505 k 当A 为底角时 顶角的度数为180808020 所以特征值k 201 804 综上所述 特征值k为 8 5 或 1 4 3 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则它的顶角的度数为 3 等腰三角形 那小鹿需要思考一下是什么样的等腰三角形 锐角的 直角的 钴角的 又说多了 小鹿溜了 30或150 解析 如解图 当高线BD在ABC内部时 因为 1 2 BDAB 且ADB 90 所以30A 如解图 当高线BD在ABC外部时 因为 1 2 BDAB 且ADB 90 所以30BAD 所以180BAC 30150 综上所述 等腰三角形的顶角度数为30 或150 4 已知一等腰三角形的三边长分别为32x 21x 3x 则这个等腰三角的周长为 4 看着简简单单两边相等就可以了 但不是所有的边都可以构成三角形 就像不是所有的牛奶都 叫特仑苏 24 或 15 解析 因为等腰三角形三边的长分别是32 21 3xxx 所以分三种情况讨论 1 如果3221xx 则1x 三边长为 1 1 4 因为1 14 所以不能构成三角形 舍去 2 如果213xx 则4x 三边长分别为7 7 10 能构成三角形 所以周长为77 1024 3 如果323xx 则 5 2 x 三边长分别为 11 11 4 22 能构成三角形 所以周长为 1111 415 22 综上所述 这个等腰三角形的周长为 24 或 15 5 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48 则该等腰三角形的底角的度数为 5 小鹿现在看到等腰三角形 这 肌肉记忆 很上头呐 保准是要分类讨论 69或21 解析 分两种情况讨论 1 若90A 如解图 1 因为BDAC 所以A 90ABD 因 为48ABD 所 以A 904842 因 为A BA C 所 以 ABC 1 1804269 2 C 2 若90A 如 解 图 同 可 得 904842DAB 所 以 1 8 04 21 3 8BAC 因为ABAC 所以 1 18013821 2 ABCC 综 上所述 该等腰三角形的底角的度数为69或21 6 如 图 在ABC 中 A BA C D E是ABC 内 的 两 点 AD平 分BAC 60EBCE 若6BEcm 2DEcm 则BC的长为 6 8 解析 延长ED交BC于点M 延长AD交BC于点N 过点D作 DFBC交BE于点 F解 图 略 因 为 A BA C A D 平 分BAC 所 以 A NB C B NC N 因 为 60EBCE 所以BEM为等边三角形 所以BMBE 6 60MEEMB 所以EFD为等边三角形 因为6 2BEDE 所以4DM 因为ANBC 所以 90DNM 所 以N D M 30 所 以 1 2 2 N MD M 所 以B NB MN M 624 所以28BCBN 7 有一个三角形纸片ABC 36C 点D是AC边上一点 沿BD方向剪开三角形纸片后 发现所得的两纸片均为等腰三角形 则A 的度数可以是 7 18或36或54或72 解析 分以下情况讨论 BCCD 此时CDBDBC 180272C 所 以180ADB 1 8 07 21 0 8 C DBABAD 时 ABD 108 舍去 或 108ABBDA 舍去 或 1802ADBDAADB 36 BCBD 此时36CDBC 所以 18018036144 ADBCDBAB AD 时 144ABD 舍 去 或 ABBD 144A 舍去 或 180ADBDA 218 ADB 3 CDBD 此时CDB 1802108C 所以180ADB 18010872 CDB ABAD 时 A 180236ADB 或 72ABBDA 或或 180254ADBDAADB 综上所述 A 的度数可以是18或36或54或 72 8 已知周长为62cm的等腰三角形的第一边长比第二边长的 2 3 大10cm 求这个三角形的三边长 8 命题人的套路一眼看穿 分类讨论走起来 解 设第二边长为x 则第一边长为 2 10 3 x 若第二边长为腰 则 2 10262 3 xx 解得 39 2 x 2239 101023 332 x 此时 三角形的三边长分别为 3939 cm cm 23cm 22 若第一边长为腰 则 2 21062 3 xx 解得18x 22 1018 1022 33 x 此时 三角形的三边长分别为18cm 22cm 22cm 综上所述 这个三角形的三边长分别为 39 cm 2 39 cm 23cm 2 或18cm 22cm 22cm 9 已知 如图 90ACB D E是AB上的两点 且AEAC BDBC EFCD 于 F 求证 CFEF 9 解 如解图 连接 CE因为AEAC 所以123AECB 同理 231 A 得22A B 因为90ACB 所以90AB 所以245 因为EFCD 所以90CFE 所以452CEF 所以CFEF 10 在ABC 中 ABAC CD为AB边上的高 1 如图 1 求证 2BACBCD 2 如图 2 ACD 的平分线CE交AB于E 过E作EFBC 于F EF与CD交于点 G 若EDm BDn 请用含有m n的代数式表示EGC 的面积 解 1 过点A作AEBC 于点E 交CD于点 F解图略 所以90BAEB 因为 CDAB 所以90BCDB 所以BAEBCD 所以2BACBCD 2 想要毫无理由地护短 小鹿知道啦 鹿粉在小鹿心中是第一位的偏爱 就跟这辅助线一样从始 至终都一样 过点A作APBC 于点P 解图略 则90 APB 因为ABAC 所以BAPPAC 因为CDAB 所以90 BBCD 所以 BAPPACBCD 因为CE平分DCA 所以 ACEECD 因为180APCPCAPAC 所以90ACEDCEPCDPAC 所以 290BCDECD 所以45BCE 因为EFBC 所以90EFC 所以18045FECEFCECF 所以FECECF 所以EFFC 因为90EFCAPC 所以 EFAP 所以BEFBAPBCD 在BFE和GFC中 BEFGCF EFCF EFBCFG 所以 ASABFEGFC 所以CGBEmn 所以 11 22 EGC SCG DEm mn