重难点30 全等三角形综合题.docx

重难点重难点 3030 全等三角形综合题全等三角形综合题 第第 1 14646 天天 加法炮制需谨慎加法炮制需谨慎 1 1 如图 在四边形ABCD中 90 ABADBDE F 分别是边 BC CD上的 点 且 1 2 EAFBAD 求线段 EF BE FD之间的数量关系 小明提供了这样的思路 延 长EB到点G 使BGDF 连接AG 根据小明的思路 请写出线段 EF BE FD之间 的数量关系 2 如图 在四边形ABCD中 ABAD 180BD E F分别是边 BC CD上 的点 且 1 1 2 EAFBAD 中的结论是否仍然成立 请说明理由 3 如图 在四边形ABCD中 ABAD 180BD E F分别是边 BC CD延 长线上的点 且 1 1 2 EAFBAD 中的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请写出它们之间的数量关系 并说明理由 1 解 如解图 延长EB到点G 使BGDF 连接AG 因为90 ABGABCDABAD 所以 SAS ABGADF 所以 12AGAF 所以 1 2313 2 BADEAF 所以GAEFAE 又因为AEAE 所以 SAS AEGAEF 所以EGEF 因为EGBEBGBEDF 所以EFBEFD 2 1 中的结论EFBEFD 仍然成立 理由如下 如解图 延长CB至点M 使 BMDF 连接AM 因为180 1180ABCDABC 所以1D 在ABM 和ADF 中 1 ABAD D BMDF 所以ABMADF SAS 所以 23AFAM 因为 1 2 EAFBAD 所以 1 2434 2 BADEAF 即MAEEAF 在AME 和AFE 中 AMAF MAEFAE AEAE 所以 SAS AMEAFE 所以EFEM 即EFBEBM 所以EFBEFD 3 1 中的结论EFBEFD 不成立 EFBEFD 理由如下 在BE上截取BG 使BGDF 连接 AG解图略 因为180BADC 180ADFADC 所以BADF 在ABG 和ADF 中 ABAD ABGADF BGDF 所以 SAS ABGADF 所以 BAGDAF AGAF 所以 1 2 BAGEADDAFEADEAFBAD 所以GAEEAF 因为AEAE 易证AEGAEF 所以EGEF 因为EGBEBGBEDF 所以EFBEFD 第第 147147 天天 动角旋转全等否动角旋转全等否 2 综合与实践 已知 在RtABC 中 90 ACBCCD 为AB边的中点 90 EDFEDF 绕点 D旋转 它的两边分别交 AC CB或它们的延长线 于点E 点F 1 问题发现 如图 当EDF 绕点D旋转到DEAC 于点E时 试说明 ADEDBF 猜想 DEFCEFABC SSS 2 类比探究 如图 当EDF 绕点D旋转到DE与AC不垂直时 且点E在线段AC上 试判断 DEFCEF SS 与 ABC S 的关系 并说明理由 3 拓展延伸 如图 当点E在线段AC的延长线上时 此时问题 2 中的结论是否成立 若成立 请给予 证明 若不成立 DEFCEFABC SSS 又有怎样的关系 写出你的猜想 不需证明 2 解 1 因为90C 所以BCAC 因为DEAC 所以 90DEBCAADE 所以ADEB 因为90EDF 所以90ADEBDF 所以ABDF 因为ACBC 所以ABADEBDF 因为点D是 AB 的中点 所以ADBD 在ADE 和BDF 中 AB ADBD ADEBDF 所以ADEBDF ASA 2 1 2 2 1 2 DEFCEFABC SSS VVV 理由如下 连接CD 解图略 因为ACBC 90ACB D为AB的中点 所以 1 45 45 2 BDCEACB 所以 1 2 CDAB CDABBD 所以 90DCEBCDB 因为90EDF 所以CDEBDF 在CDE 和BDF 中 CDEBDF CDBD DCEB 所以CDEBDF ASA 所以 1 2 DEFCEFCDFBDFABC SSSSS 3 2 中的结论不成立 1 2 DEFCEFABC SSS 解法提示 连接 CD解图略 同 2 得DECDFB 135DCEDBF 所 以 1 2 DEFCEFDBCCEFABCDBFEC SSSSSS 五边形 148 148 如影随形常相伴天如影随形常相伴天 3 如图 在ABC 中 ACB 为锐角 点D为射线BC上一动点 连接AD 以AD为 一边且在AD的右侧作正方形ADEF 连接CF 提示 正方形的四条边都相等 四个角都是 直角 1 若 90ABACBAC 当点D在线段BC上运动时 与点B不重合 如图 试说明 CFBD CFBD 当点D在线段BC的延长线上运动时 如图 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如图 如果BAC 是锐角 45ACB 点D在线段BC上运动 且不与 B C重合 试说明 CFBC 3 解 1 因为四边形ADEF是正方形 所以ADAF 90DAF 所以90DACCAF 因为ABAC 90BAC 所以90 45BADDACBACB 所以CAFBAD 所以 SAS BADCAF 所以 45CFBDBACF 所以454590ACBACF 即90BCF 所以CFBC 即CFBD 2 当点D在BC的延长线上运动时 中的结论仍然成立 理由如下 因为四边形ADEF为正方形 所以 90ADAFDAF 因为90BAC 所以DAFBAC 所以DABFAC 又因为ABAC 所以 DABFAC SAS 所以 CFBDACFABD 因为90 BACABAC 所以45ACFABCACB 所以90BCFACBACF 即CFBD 过点A作AQAC 交CB的延长线于点Q 解图略 因为45BCA 所以45AQCBCA 所以ACAQ 因为 90ADAFQACDAF 所以QACDACDAFDAC 所以QADCAF 所以 QADCAF SAS 所以45ACFAQD 所以90BCFACBACF 即CFBC 第第 1 14949 天天 抽丝剥茧模型现抽丝剥茧模型现 4 2021 江西宜春期末 在RtABC 中 90 CABABAC 点O是BC的中点 点P 是射线CB上的一个动点 点P不与点 C O B重合 过点C作CEAP 交AP的延长线于点 E 过点B作BFAP 于点F 连接 EO OF 问题探究 如图 当点P在线段CO上运动时 延长EO交BF于点G 1 试说明 AECBFA 2 BG与AF的数量关系为 直接写结论 不需说明理由 拓展延伸 3 如图 当点P在线段OB上运动时 EO的延长线与BF的延长线交于点G OFE 的 大小是否变化 若不变 求出OFE 的度数 若变化 请说明理由 当点P在射线OB上运动时 若2 5AECE 请直接写出OEF 的面积 不需证明 解 1 因为CEAP BFAP 所以90CEAAFB 所以90ABFFAB 又因为90CAEFABCAB 所以ABFCAE 又因为ABAC 所以AECBFA AAS 2 BGAF 3 不变 45OFE 理由如下 因为 CEAP BFAP 所以90CEAAFG 所以 CEBF 所以ECOGBO 因为点O是 BC 的中点 所以OCOB 又因为COEBOG 所以 COEBOG ASA 所以OEOG BGCE 由 1 可得AECBFA 所以 AFCE AEBF 所以BGAF 所以在 RtEFG 中 FGBGBFAFAEEF 因为BFAP 所以90EFG 又因为OEOG 所以 11 9045 22 OFEOFGEFG 2 OEF 的面积为 9 4 或 49 4 解法提示 在题图 中 523FGEFAFAECEAE 且 GFEF OEOG 所以 1119 3 3 2224 OEFEFG SS 如解图 点P在OB的延长线 上时 延长FB EO交于点G 易得527FGEFAFAECEAE 且 GFEF OEOG 所以 11149 7 7 2224 OEFEFG SS 第第 1 15050 天天 全等解决二分线全等解决二分线 5 新知学习 若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分 我们把这条线段叫作该平面图 形的二分线 解决问题 1 三角形的中线 高线 角平分线中 一定是三角形的二分线的是 如图 已知ABC 中 AD是BC边上的中线 点 E F分别在 AB DC上 连接EF 与 AD交于点G 若 AEGDCF SS 则EF 填 是 或 不是 ABC 的二分线 2 如图 在四边形ABCD中 CDAB 点G是AD的中点 射线CG交射线BA于点E 取EB的中点F 连接 AC CF 试说明 CF是四边形ABCD的二分线 3 如图 在ABC 中 7 ABCBCEACCBECEB D E 分别是线段 BC AC上的点 且 BEDA EF 是四边形ABDE的一条二分线 求DF的长 解 1 三角形的中线 是 2 因为点F为EB的中点 所以 CBFCEF SS 因为 ABDC 所以EDCG 因为点G是AD的中点 所以DGAG 在CDG 和EAG 中 EDCG EGACGD AGDG 所以CDGEAG AAS 所以 AEGDCG SS 所以 AEGDCG SS 所以 CEFAFCD SS V四边形 所以 CBFAFCD SS V四边形 所以CF是四边形ABCD的二分线 3 延长CB至点H 使BHCD 连接EH 解图略 因为7BC 所以7BDCD 所以7BDBHHD 因为BEDA BEDDECAABE 所以ABECED 且7ABCE AC 所以 ASA ABECED 所以 AECD BEDEAEBCDE ABECED SS 所以AEBH 因为CBECEB 所以AEBEBH 所以EBHEDC 且 BEDE BHCD 所以 BEHDEC SAS 所以 BEHDECEAB SSS 所以 HEDABDE SS 四边形 因为EF是四边形ABDE的二分线 所以 11 22 DEFHEDABDE SSS 四边形 所以 17 22 DFDH 综合强化练综合强化练 3030 1 如图 已知ABCDEF 将ABC 和DEF 的顶点B与顶点E重合 把DEF 绕点B顺时针旋转 AC与DF相交于点O 1 当DEF 旋转至如图 位置 点 B E C D在同一直线上时 AFD 与DCA 的数量关 系是 2 当DEF 继续旋转至如图 位置时 1 中的结论还成立吗 请说明理由 3 在图 中 连接 BO AD 猜想BO与AD之间有怎样的位置关系 画出图形 写出结论并 证明 1 解 1 AFDDCA 2 1 中的结论仍然成立 理由如下 因为ABCDEF 所以 ABDE BCEFABCDEF BACEDF 所以ABCFBCDEFFBC 即ABFDEC 在ABF 和DEC 中 ABDE ABFDEC BFEC 所以ABFDEC SAS 所以BAFEDC 所以BACBAFEDFEDC 即FACCDF 3 BOAD 所作图见解图 证明 如解图 由 2 可知ABFDEC AFDC AFDDCA 在AOF 和DOC 中 AOFDOC AFODCO AFDC 所以 AOFDOC AAS 所以AODO 因为ABDB 所以直线BO是线段AD的垂直平分线 所以BOAD 2 2021 福建厦门期末 在四边形ABCD中 90 ABCACBD 垂足为E 1 如图 若BCDC 试说明 90ADC 2 如图 过点C作 CGAB 分别与 BD AD交于点F 点G 点M在边AB上 连接MC 交BD于点N 过点D作DHMC 交MC的延长线于点 2HBCGDCG 且 45BMCBDC 试说明 NMNB 若BDAECH 探究AB与BC的数量关系 2 解 1 因为 BCDC ACBD 所以AC平分BCD 所以ACBACD 在ACB 和ACD 中 BCDC ACBACD ACAC 所以 SAS ACBACD 所以90ADCABC 2 过点D作DQBC 交BC的延长线于点Q 解图略 因为 CGAB 所以180BCGABC 所以902BCGDCG 所以45DCG 因为 CGAB 所以BMCMCF MBFBFC 因为BFC 是CDF 的外角 所以45BFCBDCDCGBDC 因为45BMCBDC 所以BMCBFCMBF 所以NMNB 2ABBC 理由如下 由 知 BMCMBF 在 RtMBC 中 90BMCBCM 90MBFCBN 所以BCMCBN 所以2DNCBCMCBNCBN 因为ACBD 所以90MBFBAC 所以ACGBACCBNBCM 因为90BCGQCG 且45DCG 所以45QCD 所以QCD 是等腰直角三角形 所以CQDQ 在BCD 中 18045BDCBCGDCGCBNCBN 所以45245DCHBDCDNCCBNCBNCBN 因为45DCEDCGACGCBN 所以DCHDCE 因为DHMC 所以90HDEC 所以 DCHDCE AAS 所以CHCE 所以BDAECHAECE 所以BDAC 又因为ABCQ BACQBD 所以 ABCBQD AAS 所以 BCQDQC ABBQ 所以2BQBCQCBC 所以2ABBC