重难点23 全等三角形辅助线作法.docx

重难点重难点 23 全等三角形辅助线作法全等三角形辅助线作法 第第 111 天天 聚焦中线定关系聚焦中线定关系 1 如图 CD AB BAD BDA AE 是 ABD 的中线 试说明 AC 2AE 1 要证2ACAE 那 2 倍AE在哪呢 找不到 那可能需要你大笔一挥构造一下了 具体怎样操 作 且看小鹿演示 解 延长AE使EFAE 连接BF 解图略 因为AE是ABD的中线 所以BEDE 在AED和FEB中 AEFE AEDFEB DEBE 所以 AEDFEB SAS 所以 BFDAFBEADE 又因为ADEBAD 所以 FBEBAD 所以ABFABDFBEABDBAD 180 BDAADC 在ABF和CDA中 ABCD ABFCDA BFDA 所以 SAS ABFCDA 所以ACAF 因为2AFAE 所以2ACAE 第第 112 天天 中线平行打辅助中线平行打辅助 2 如图 在 ABC 中 点 D 在 BC 上 连接 AD 点 E 是 BC 的中点 作 EF AD 交 CA 的延长 线于点 F 交 AB 于点 G 若 BG CF 试说明 AD 为 ABC 的角平分线 2 解 延长 FE 使EHEG 连接 CH 解图略 因为 E 是 BC 的中点 所以BECE 在BEG和CEH中 BECE BEGCEH EGEH 所以 BEGCEH SAS 所以 BGEH BGCH 所以BGEFGAH 因为CFBG 所以CHCF 所以FHFGA 明明是王者 却偏偏打辅助 此处平行线的作用大概是为了转化相等角吧 因为 EFAD 所以 FCADBADFGA 所以CADBAD 所以 AD 平分BAC 即 AD 为ABC的角平分线 第第 113 天天 拆东补西两方法拆东补西两方法 3 如图 在四边形 ABCD 中 BC BA A C 180 且 C 60 BD 平分 ABC 试 说明 BC AB DC 3 解 在 BC 上截取BEBA 连接 DE解图略 哈哈 这次不延长中线 换 截 等长线段了 有趣的操作 不过这肯定对全等的胃口 毕竟 等 字不是白喊的 因为 BD 平分ABC 所以ABDEBD 在BAD和BED中 BABE ABDEBD BDBD 所以 SAS BADBED 所以ABED 因为60 180CAC 所以120A 所以120BED 所以60DECC 所以180606060EDC 所以CDE是等边三角形 所以DEDCCE 所以BCBECEABDC 第第 114 天天 拿来主义构全等拿来主义构全等 4 如图 在 ABC 中 ABC 80 C 40 AP 平分 BAC 交 BC 于点 P BQ 平分 ABC 交 AC 于点 Q 试说明 AB BP BQ A0 4 解 方法一 过点P作 PDBQ交 AC 于点D 解图略 What 还有这种操作 吓得小鹿紧紧抱住胖胖的自己 因为80 ABCBQ 平分 ABC PDBQ 所以 11 80 22 CBQCPDABC 40 所以CBQC 所以BQCQ 所以BQAQCQAQAC 1 因为40CPDC 所以 180PDCDADPCDPCPD 404080 C 因为80ABC 所以ABCADP 因为 AP 平分BAC 所以BAPDAP 在ABP和ADP中 ABPADP BAPDAP APAP 所以 ABPADP AAS 所以 ABAD BPDP 所以ABBPADPDADCDAC 2 由 1 2 可得 ABBPBQAQ 这招还不过瘾 那再试试小鹿接下来这套 军体拳 大有来头咯 方法二 过点P作 PDBQ 交 AB 延长线于点D 解图略 因为80 40ABCC 所以180804060BAC 因为 AP BQ 分别是 BACABC 的平分线 所以30 PACPADABQCBQ 40C 所以QBQC 因为 PDBQ 所以 DABQCCBQBPD 所以DBPD 所以BDBP 在APD和APC中 DC PADPAC APAP 所以 AAS APDAPC 所以ADAC 所以ABBDAQQC 所以ABBPBQAQ 是不是有点面熟 平行 又来打辅助了 题目完成好 辅助少不了 第第 115 天天 全等遇角平分线全等遇角平分线 5 如图 在 ABC 中 B 60 AD CE 分别是 BAC BCA 的平分线 AD CE 相交于 点 F 请你判断 FE 与 FD 之间的数量关系 并说明理由 5 有角平分线那就有相等角和公共边 那离全等三角形不就只有一步之遥 小鹿真是一只智慧鹿 那你能想到怎么构造出全等吗 解 FEFD 理由如下 在 AC 上截取AGAE 连接 FG 解图略 因为 AD 是BAC 的平分线 所以EAFGAF 在AEF和AGF中 AEAG EAFGAF AFAF 所以 AEFAGF SAS 所以 SAS AEFAGF 所以 AFEAFG FEFG 因为60B 所以18060120BACBCA 因为 AD CE 分别是 BACBCA 的平分线 所以 11 22 FACBACFCABCA 所以 1 2 FACFCABACBCA 1 12060 2 所以180180AFCFACFCA 60120 所以60 60EFAGFADFC 所以60GFC 在CFG和CFD中 CFGCFD CFCF GCFDCF 所以 ASA CFGCFD 所以FGFD 所以FEFD 综合强化练综合强化练 23 1 如图 在 ABC 中 AB AC 在 AB 的延长线上截取 BD 在 AC 边上截取 CE 使 CE BD 连接 ED 交 BC 于点 F 问 DF 与 EF 相等吗 为什么 1 好看的皮囊千篇一律 有趣好用的方法万里挑一 此时小鹿把它的名字都 cue 好多次了 不出 意外 就是平行 解 DFEF 理由如下 过点E作 EGAB交 BC 于点G 解图略 则 CGEABCGEFDEGF DBF 因为ABAC 所以ABCC 所以CCGE 所以CEGE 因为CEBD 所以BDGE 在DBF和EGF中 DGEF BDGE DBFEGF 所以 ASA DBFEGF 所以DFEF 2 如图 在 ABC 中 AC BC C 100 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 点 E 为 AB 上一 点 且 EDB B 试说明 AB AD CD 2 解 因为100 CACBC 所以 1 18010040 2 BCAB 因为EDBB 所以180402100 DEBBEDE 所以18080AEDDEB 因为 AD 平分BAC 所以 1 20 2 DAEDACCAB 所以180802080ADE 所以ADAE 激动的心 颤抖的手 做条垂线好不好 小鹿觉得可以 过点D作DFAC 交 AC 的延长线于点F 作DHAB 于点H 解图略 所以90DFCDHE 18080 DCFACBAED 因为 AD 平分BAC 所以DAFDAH 所以DFDH 在CDF和EDH中 DCFDEH DFCDHE DFDH 所以 CDFEDH AAS 所以CDED 所以CDBE 所以 ABAEBEADCD 3 如图 在 ABC 中 ABC 3 C AD 平分 BAC BE AD 于点 E 试说明 BE 1 2 AC AB 3 解 延长 BE 交 AC 于点 F解图略 因为BEAD 所以90AEBAEF 因为 AD 平分BAC 所以BAEFAE 在ABE和AFE中 AEBAEF AEAE BAEFAE 所以 ASA ABEAFE 所以 ABFAFB ABAF BEEF 因为180CCBFCFBAFB 3ABFABFCBFABCC 所以23CCBFC 所以CBFC 所以BFCF 原来在这等着呢 一切皆有安排 就看鹿粉们能否安排得明明白白 所以 11 22 BEBFCF 因为CFACAFACAB 所以 1 2 BEACAB 4 如图 已知 AC BD AE BE 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 试说明 AB AC BD 4 套路都是一样的 关键是如何作辅助线呢 反正不是作平行就是延长 不是延长就是截取 还 要小鹿继续下去吗 选一个吧 解 在 AB 上取一点F 使AFAC 连接 EF 解图略 因为 AE BE 分别平分CAB 和DBA 所以 CAEFAEEBFEBD 在ACE和AFE中 ACAF CAEFAE AEAE 所以 SAS ACEAFE 所以CAFE 因为 ACBD 所以180CD 又因为180AFEEFB 所以 EFBD 在BEF和BED中 EFBD EBFEBD BEBE 所以BEFBED AAS 所以BFBD 因为ABAFBF 所以ABACBD 5 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 是线段 BC 上的一个动点 不与点 B 重合 DE BE 于点 E EBA 1 2 ACB DE 与 AB 相交于点 F 1 当点 D 与点 C 重合时 如图 试探究线段 BE 与 DF 的数量关系 2 当点 D 与点 C 不重合时 如图 试判断 1 中的结论是否仍然成立 请说明理由 5 BE 和 FD 的关系就跟你和小鹿一样 认真且坚定 但这总是有原因的 来 唠唠嗑 解 1 延长 CA BE 相交于点G 解图略 这又是小鹿没有见过的作辅助线的方法 记下了 因为在ABC中 90 BACABAC 所以45ACBABC 因为 1 2 EBAACB 所以 22 5EBA 所以4522 567 5GBC 所以1804567 567 5G 所以GGBC 所以CGCB 又因为CEBE 所以 11 22 5 22 ACEACBBEBG 所以ACEEBA 在ABG和ACF中 GABFAC ABAC ABGACF 所以 ASA ABGACF 所以BGCF 1 2 BECF 即 1 2 BEDF 2 成立 理由如下 过点D作 DHCA交 BA 于点M 交 BE 的延长线于点H 解图略 这熟悉的作辅助线手段 一看就是鹿粉们的杰作 小鹿要夸夸这届粉丝 不赖呐 则90 45BMDAMDBC 所以45MBDMDB 所以MBMD 因为 1 2 EBAACB 所以 22 5EBA 所以4522 567 5HBD 所以1804567 567 5H 所以HBDH 所以DBDH 又因为DEBE 所以 11 22 5 22 HDEHDBBEBH 所以HBMFDM 在HMB和FMD中 BMHDMF MBMD HBMFDM 所以 ASA HMBFMD 所以 1 2 BHDF BEDF 做完这道题并不是真正的结束 小鹿有话说 对比一下两个解图就明白第 2 问辅助线这样作的 原因了 所以鹿粉们做完题一定要总结哦