重难点16 平方差公式.docx

重难点重难点 1 16 6 平方差公式平方差公式 第第 7 76 6 天妙用公式来计算天妙用公式来计算 计算 1 41 5960 55 24816 22 1 21 21 21 211 3 2222222 1949195019511952201920202021 解答与分析 解 1 原式 11 6060 55 1 3600 25 24 3599 25 2 原式 24816 2 1 2 1 21 21 21 211 224816 2 1 21 21 21 21 1 32 21 1 32 2 原式 2 1949 1950 1949 1950 1951 1952 1951 1952 20192020 20192020 2021 1949 1950 1951 1952 cdots 2019 2020 2 2021 1428844084441 3941557 第第 7 77 7 天熟记公式解题快天熟记公式解题快 2 希望杯 邀请赛 已知 22 2 2mnnmmn 求 33 2mmnn 的值 解答与分析 快来 和小鹿一起开心消消乐了 眼力 智力都需要跟上哦 解 因为 22 2 2mnnm 所以 22 2 2 mnnmnm 又因为 22 mnmn m n 所以 mn mnnm 因为mn 所以1mn 所以 3322 22 mmnnm mmnn nm n 2 2 2 2 2 1 2mnn mmn 第第 7 78 8 天天读懂新义破旧法读懂新义破旧法 3 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 如 222222 420 1242 2064 因此4 12 20都是 神秘数 1 28和 2020 这两个数是 神秘数 吗 为什么 2 设两个连续偶数为2k和22k 其中k取非负整数 由这两个连续偶数构造的 神秘数 是 4 的倍数吗 为什么 3 两个连续奇数的平方差 取正数 是 神秘数 吗 为什么 解答与分析 神秘数 有蒙娜丽莎的微 神秘吗 快和小鹿一起揭开这神秘的面纱吧 解 1 28 和 2020 都是 神秘数 理由如下 设 28 是由x和 2 x 两数的平方差得到 则 22 2 28xx 解得8x 所以26x 即 22 2886 设 2020 是由y和 2 y 两数的平方差得到 则 22 2 2020yy 解得506y 所以2504y 即 22 2020506504 所以 28 2020 都是 神秘数 2 是 理由如下 22 22 2 22 2 222 kkkkkk 4 21 k 所以由22k 和2k构造的 神秘数 是 4 的倍数 且是奇数倍 3 不是 理由如下 设两个连续奇数分别为21k 和21 kk 取正数 则 22 21 21 84 2kkkk 即两个连续奇数的平方差是 4 的倍数 且是偶数倍 由 2 知 神秘数 是 4 的奇数倍 所以两个 连续奇数的平方差不是 神秘数 第第 7 79 9 天天公式与图形碰撞公式与图形碰撞 4 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形 如图 1 然后将剩余部分拼成一个长方 形 如图 2 1 上述操作能验证的等式是 2 应用 1 中的等式 完成下列各题 1 已知 22 412 24xyxy 求2xy 的值 2 计算 2222 1111 1111 23410 3 计算 22222222 13599246100 解答与分析 解 1 22 abab a b 2 小鹿碎碎念 要细心 耐心 要多 观察 多思考 好了 不说了 再说就要挨打 了 1 因为 22 4 2 xyxy x 22 2 412 24y xyxy 所以124 2 xy 即23xy 2 原式 1111 1111 2233 1 1111 111 441010 13243591111111 223344101021020 3 原式 222222 123499100 1 2 34 99 100 1 2 1 2 34 34 99 100 99 100 1 23499 100 5050 第第 8 80 0 天神奇的代数规律天神奇的代数规律 5 1 计算并观察下列各式 第 1 abab 第 22 2 abaabb 第 3223 3 abaa babb 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律 2 猜想 若n为大于1的正整数 则 12322321nnnnnn abaababa babb 3 利用 2 的猜想计算 12332 222222 1 nnn 4 拓展与应用 求 12332 333333 1 nnn 的值 解答与分析 解 1 223344 ab ab ab 2 nn ab 刚才总结的公式是什么来着 赶紧找a和b直接往里套啊 3 21 n 解法提示 原式 12332 2 1 222222 1 nnn 2121 nnn 4 原式 12332 1131 3 1 333333 131 222 n nnnnn 综合强化练综合强化练 1 16 6 1 希望杯 竞赛 已知 n是自然数 如果20n 和21n 都是完全平方数 则n等于 解答与分析 421 解析 设 22 20 21anbn 则 22 ab 20 21 41ab abnn 所以 41 1abab 解得21 20ab 所以n 2 20441 20421a 2 把 2023 表示成两个整数的平方差的形式 则不同的表示方法有种 解答与分析 直接考虑平方差无从下手呀 小鹿建议将 2023 分解试试 8 解析 把 2023 表示为两个整数平方差形式即 22 2023 abab a b 因为 2023120237289 解2023 abab 1 可得1012 1011ab 解289 abab 7 可得148 141ab 所以 2 20231012 222 1011148141 又因为每组可取负号 所以共有248 种 3 CASIO 杯 全国初中数学竞赛 某校举行春季运动会时 由若干名同学组成一个 8 列的长方形 队列 如果原队列中增加 120 人 就能组成一个正方形队列 如果原队列中减少 120 人 也能组成 一个正方形队列 则原长方形队列有 名同学 解答与分析 904 或 136 解析 设原来是8x人 则加 120 和减 120 都是平方数 所以 2 8120 8xax 2 120b 所以 22 240 240abab a b 2 1203 804 605 486 408 30 10 2412 2015 16 由 2 81208ax 2 15 81208 15 xbxx 可得 2 a和 2 b都是 8 的倍数 所以a和b 都是偶数 所以a b和ab 都是偶数 排除上面有奇数的式子 得2402 1204 606 408 3010 24 12 20 记240 ab abm n 令ab m abn 可得 2 mn a 因为a是偶数 所以排除上面两数相加除以 2 是奇数的式子 得2404 6012 20 即60 4abab 或20 12abab 解得32 28ab 或a 16 4b 所以 2 8120904xa 或 2 8xa 120136 综上所述 原长方形队列有 904 或 136 名同学 4 一个个位不为零的四位自然数n 如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之 和 则称n为 隐等数 将这个 隐等数 反序排列 即千位与个位对调 百位与十位对调 得 到一个新数m 记 2 33 nm D n 若某个 隐等数 n的千位与十位上的数字之和为 6 D n为正数 且 D n能表示为两个连续 偶数的平方差 求满足条件的所有 隐等数 n 解答与分析 解 设 隐等数 n的千位 百位分别为 a b 则十位数为 6 a 个位数为 6 b 则n 100010010 6 6 abab 1000 6 100 6 10mbaba 22 1089 6 6 3333 nmab D nab 因为 D n为正数 且 D n能表示为两个连续偶数的平方差 可设 22 22 2 D nkkk 为自然数 所以 844 21 6D nkkab 即ab 6 为 4 的奇数倍 因为n的千位与十位上的数字之和为6 6b 0 所以16 15ab剟剟 所 以64ab 所 以10ab 所 以5 5ab 或6 4ab 所 以5511n 或 6402n 5 根据以下 10 个乘积 回答问题 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 1 试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式 并写出其中一个的思考过程 1 将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 3 若用 1 12 23 3 a n ab a b a ba b表示n个乘积 其中 123123 nn a a aa b b bb为正数 试 由 2中乘积的大小顺序猜测一个一般性的结论 解答与分析 解 2222 1 11 29209 12 28208 13 22 27207 22222 14 26206 15 25205 16 2420 2 4 22222 17 23203 18 22202 19 2120 2 1 22 20 20200 例如11 29 假设 22 11 29O 因为 22 O O O 所以可以令O11 O29 解得20 09 故 22 11 29209 2 小鹿悄悄提示 平方差里有答案哦 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次 11 2912 2813 2714 2615 2516 24172318 2219 2120 20 3 让小鹿考虑一下 它们的和具有什么关系 乘积又具有什么关系呢 由 2 知 若 112233nn abababab 40 且 112233 ababab 厖厖 nn ab 则 1 12 23 3n n aba ba ba b剟剟 一般性结论 若 112233n abababa n bm 且 112233 ababab 厖厖 nn ab 则 1 12 23 3n n aba ba ba b剟剟 即当两个数的和一定时 这两个数差的绝对值越大 其乘积越小