重难点03 绝对值.docx

重难点重难点 0 03 3 绝对值绝对值 第第 1111 天天不负性质不负卿不负性质不负卿 1 天 津 竞 赛 题 改 编 已 知2 ab 与 1b 互 为 相 反 数 则 式 子 1111 11222 0 2 12 0 2 1a bababab 的值为 答案 2022 2023 解析 因为 ab 2 与 b 1 互为相板数 所以 2 1 0 即 2 0 1 0 解得 1 2 代人式子 1 1 1 1 1 2 2 1 2021 2021 中可得 原式 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 此时 不要着急计算每项结果 小鹿教你 裂项 简便算 原式 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2022 1 2023 1 1 2023 2022 2023 第第 1212 天天脱离符号现本质脱离符号现本质 2 在数轴上有四个互不相等的有理数 a b c d 若bccaab 设d在 a c之间 则 addccbac 答案 解析 由 叮得 又因为 在 之间 故有 或 两种情况 当 时 当 时 综上所述 第第 1313 天天去掉符号有套路去掉符号有套路 3 化简 1 523xx 2 1 21xx 小鹿提示 去绝对值的关键是什么 嘘 带着心里的回答完美地给出解题过程吧 解 1 因为 5 2 3 的零点值为 5和3 2 所以 当 5时 5 2 3 5 3 2 3 2 当 5 3 2时 5 2 3 5 3 2 8 xx 当 3 2 x 时 52352332xxxxx 即 32 5 3 52385 2 3 32 2 xx xxxx xx 2 1 21xx 的零点值 10 x 即1x 10 x 即1 x 120 x 即 3x 或1x 所以零点值为 1 3 所以 当1x 时 1 211122 xxxxx 当11x 时 1 211122xxxxx 当13x 时 1 21314 xxxx 当3x 时 1 211 2122 xxxxx 即 22 1 22 11 1 21 4 13 223 xx xx xx x xx 第第 1414 天天一分二算三比较一分二算三比较 4 求 1 236xxx 的最小值 2 希望杯 邀请赛 已知 12213136xxyyzz 求23xyz 的最大值和最小值 解 1由绝对值意义可得 式子2x 36xx 表示数轴上的点x到2 3 和 6 三点的距 离之和 所以 当3x 时 236xxx 有最小值 此时3 23 33 68 即最小 值火 8 2 这道题看起来多少有点难呐 小鹿来给你根 杠杆 观察一下相乘各部分的取值 不知道你能否 撬起地球 当12x 剟时 12xx 的最小值为 3 当12y 剟时 21yy 的最小值为 3 当13z 剟时 31zz 的最小值为 4 因为 12213136xxyyzz 所以各部分均取最小值时满足题意 当1 1 1xyz 时 23xyz 的值最小 此时 236xyz 当2 2 3xyz 时 23xyz 的值最大 此时2315xyz 答 23xyz 的最大值为 15 最小值为 6 第第 1515 天天何处建站你来定何处建站你来定 5 如图 一条水平公路的两侧有六个村庄 分别为 123456 A A A A A A 现要建一个车站 不考虑 公路的宽 要求到六个村庄的路程之和最小 应该选在哪里最合适 如果在点P处增加一个村庄 并且沿地图的虚线修了一条小路 那么这时车站设在什么地方合适 此题稍显混乱 但是我们需要从混乱中捋清主线 从前几道题目中得到的经验 鹿粉们记得用起来 哦 解 由题意 只需考虑六个村庄在水平公路上到车站所走路程之和最小即可 设 B C D E F在数 轴上表示的数分别为 1234 x x x x 5 x 车站站点表示的数为x 即求 1 xx 2345 2 xxxxxxxx 取最小值时x的位置 当x在 1 x和 5 x之间时 15 xxxx 的值取最小 同时 当x在 2 x和 4 x之间时 2 xx 4 xx 的值取最小 同时 当 x在 2 x和 3 x之间时 23 xxxx 的值取最小 综上所述 当x在 2 x和 3 x之间时 1 xx 2345 2 xxxxxxxx 的值取得最小值 即车站站点设在 C D之间 包括 C D两点 时 车站到六个林庄路程之和最小 同理 如果在点P 处增加一个村庄 并且沿地图的虚线修了一条小路 车站设在C点最合适 数学知识小拓展 卡尔 魏尔斯特拉斯在 1841 年发明并首先引用了绝对值的概念 时年 36 岁 1905 年 数学家 甘斯特将绝对值概念引体验向量 由此在数学中绝对值 长度 模长的一致性得到公认 绝对值概 念的确立为近现代数学的发展奠定了坚实的基础 综合强化练 3 1 若015p 则代数式 1515xpxxp 在15p x剟的范围内取得的最小值 是 答案 15 解析 因为15p x剟 所以0 xpx 15 0 15 0 xp 剟 所以 1515151530 xpxxpxpxpxx 故当15x 时 代数式取 得最小值 最小值为30 1515 2 2020 浙江自主招生 已知x是正实数 则121314151xxxxx 的最小值是 这个就 看似温柔 实则处处需小心 小鹿都替同学们捏一把汗 小鹿告诉你 汗 我捏了 题 还是得你做 哈哈 不逗你了 试试 零点法 答案 7 4 解析 x 1 11 21314151123 23 xxxxxxx 11 45 45 xx 当 1 5 x 时 原式1121 3141 55 15xxxxxx 此时 1 5 x 原式取最小值 2 当 11 54 x剟时 原式11 21 31 45135xxxxxx 此时 1 4 x 原式取最小值 7 4 当 11 43 x剟时 原式 1121 341 511 3xxxxxx 此时 1 4 x 原式取最小值 7 4 当 11 32 x剟时 原式1123141 5191xxxxxx 此时 1 3 x 原式取最小值 2 当 1 1 2 x剟 时 原式121 3141 5 1133xxxxxx 此时 1 2 x 原式取最小值 7 2 当1x 时 原式121 3141 51155xxxxxx 此时1x 原式取最小值10 综上所 述 原式的最小值为 7 4 3 如图 若数轴上a的绝对值是b的绝对值的 3 倍 则数轴的原点在点 或点 填 A B C 或 D 这种题是绝对不允许出错的哦 大不了 A B C D我都试一遍 也能做出来的吧 不过我们要严谨 还是要分析一下的 答案 C D 解析 根据题意知4ba 分情况讨论 当0 0ab 时 由题意可得3 ab 即3ab 解得6 2ab 舍去 当0a 0b 时 由题意可得3ab 即3ab 解得 6 2ab 故数轴的原点在点 D 当0 0ab 时 由题意可得3ab 即a 3b 解得3 1ab 故数轴的原点在点C 综上所述 数轴的原点在点C或点 D 4 适合538aa 的整数a的值的和为 是不是忘记绝对值的几何意义了 要不小鹿给你来背一遍中 来真的 做题去吧 臭宝 答案 9 解析 5a 表示a到5 的距离 3a 表示a到 3 的距离 因为5 到 3 的距离为 8 所以 5 到 3 之间的所有点均满足条件 即53a 剟 又因为a为整数 所以满足条件的a有 5 4 3 2 1 0 1 2 3 共 9 个 它们的和为5432 10 123 9 5 重庆竞赛题 编 已知 a b c都不等于 0 且 abcabc abcabc 的最大值为m 最小值为n 则 m nmn 的值为 答案 1 解析 因为当 a bc均大于 0 时 代数式 abcabc abcabc 有最大值 所以1 1m 1 14 因为当 a b c均小于 0 时 代数式 abcabc abcabc 有最小值 所以 1 1 1 14n 所以 448 440mnmn 所以 0 81 m n m n 6 有一台单功能计算器 对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算 其运算过程是 输入 第一个整数 1 x 只显示不运算 接着再输入整数 2 x后 显示 12 xx 的结果 比如依次输入 1 2 则输 出的结果是 1 2 1 此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值 1 若小明依次输入3 4 5 则最后输出的结果是多少 2 若将1 2 3 4这 4 个整数任意地一个一个地输入 全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少 最小值是多少 3 若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 2 a b 全部输入完毕后显示的最后结果为 k 已知k的最大值为 10 求k的最小值 看完这道题目 小鹿就只想来一句 花里胡哨 试试前两问就知道小鹿为什么这样说了 解 1 根据题意得 3 4 51 54 2 根据题意得 1 211 1 3 22 2 422 对于1 2 3 4 按1 3 4 2的次序输人完毕后显示的结果为最小值 即 1 3 42 0 按 1 3 2 4的次序输入完毕后显示的结果为最大值 即 1 3 2 4 4 故全部输入完毕后显示的结果 的最大值是 4 最小值是 0 做到这 是不是感觉豁然开朗 小鹿就说是吓唬你们的 3 因为任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2 ab 全部输入完毕后显示的最后结果为 k k的最大值为 10 所以设b为较大数字 当2ba 即1a 时 21bab 10 解得11b 故k的最小值为211 1 8 当2ba 时 2210baba 则210ba 所以8ab 故k的最小值 为226abab 综上所述 k的最小值为 6